Сколькими способами в бригаде из 6 операторов можно распределить 3 путевки в профилакторий
Обновлено: 05.10.2024
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?
2. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?
3. Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?
4. Решить уравнения
5. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
6. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
7. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?
8. Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.
9. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?
10. Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?
11. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.
12. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?
13. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?
14. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?
Теория вероятностей
1. В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?
2. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).
3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.
4. из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.
6. В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?
7. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?
Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины
1. Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.
2. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.
3. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.
4. Найти математическое ожидание случайной величины X , если закон ее распределения задан таблицей:
Загрузки всякие
Связь
Содержание
Сколько шестизначных чисел можно составить из двух 5 и четырех 7.
Число всех перестановок равно 6! Среди них есть совпадающие - уберем их.
Перестановки, отличающиеся друг от друга лишь расположением элементов 55, совпадают. Таких перестановок будет 2!
Перестановки, отличающиеся друг от друга лишь расположением элементов 7777, совпадают. Таких перестановок будет 4! Итого 6! / (2!4!) = 1*2*3*4*5*6 / (1*2*1*2*3*4) = 15
Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их повторения?
Р5 – Р4 = 5! – 4! = (5-1) * 4! = 96 (разных пятизначных чисел)
Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения?
C_9^5 = 126 (разных пятизначных чисел)
Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?
$A_8^1 A_7^1 A_6^1 = 8 \cdot 7 \cdot 6=336$
Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля?
$A_^7 - A_^6 = 9*9*8*7*6*5*4 = 544320$
Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге. [Перестановки]
Р3 = 3! = 6 вариантов
В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд?
Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?
$A_^2 / 2 = 15+14+\ldots+1 = 120$
Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями. Сколько всего фотографий необходимо было для этого?
При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?
Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях?
P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.
Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой?
$C_^2 = 8!/2!/6! = 28$ (прямых линий)
Определите число всех диагоналей правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.
общая формула вычисления диагоналей у n-угольника $C_n^2$
Ответ: 10, 66, 28, 105
Задача 3. В мешке 50 шаров, отличающихся только цветом: 8 красных, 9 синих, 9 желтых, остальные – поровну черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее 7 шаров одного цвета?
Задача 4. 15 футбольных команд (в каждой по 11 человек) летят из Москвы в Санкт-Петербург на соревнования. Какое минимальное количество мест может быть в самолете, чтобы гарантированно нашлась команда, долетевшая в полном составе?
Задача 5. Сколько чисел от 1 до 9999 (включая 1 и 9999) не имеют в своей десятичной записи одинаковых подряд идущих цифр? (к примеру, не подходят 1488, 2259, 3233)
Первой цифрой числа, не имеющего в своей записи подряд идущих цифр, может быть любая цифра, кроме 0, то есть всего 9 вариантов. Второй цифрой этого числа может быть любая цифра, кроме той, которая стоит на первом месте, то есть 9 вариантов, третьей − любая, кроме стоящей на втором месте, то есть опять 9 вариантов, и т.д. Тогда таких четырехзначных чисел всего $9^4$, аналогично, трехзначных − $9^3$, двузначных − $9^2$ и однозначных − 9. Всего получаем $9^4+9^3+9^2+9=7380$ чисел.
Задача 1. Есть 10 различных марок шоколада. Количество способов подарить трём девочкам по шоколадке равно?
Каждая девочка может получить шоколадку любой марки. Поскольку все девочки и все марки различны, то количество способов подарить шоколадки девочкам в точности равно количеству размещений с повторениями $\bar A^3_=10^3$.
Задача 3. Сколькими способами можно вручить призы в 5 различных номинациях (в каждой номинации только один приз), если в соревновании участвуют 10 человек?
Приз в любой из 5 номинаций может достаться любому из 10 участников соревнований, то есть количество способов выдать призы в точности равно количеству размещений с повторениями $\bar A^5_=10^5 = 100000$.
Задача 4. Сколькими способами можно вручить призы в 5 различных номинациях (в каждой номинации только один приз), если в соревновании участвуют 10 человек, при условии, что каждый участник может получить не более одного приза?
Приз в первой номинации может достаться любому из 10 участников соревнований, во второй − любому из 9 участников (получивший первый приз другие призы получать не может), в третьей − любому из 8 участников, и т.д. То есть количество способов выдать призы в точности равно количеству размещений без повтореий $A^5_=10⋅9⋅8⋅7⋅6=30240$.
Задача 8. Группа из 8 студентов пришла в столовую. Сколькими способами они могут занять очередь друг за другом, если Маша и Таня хотят стоять рядом, а Коля не хочет быть последним?
Так как Маша и Таня хотят стоять рядом, то можно считать, что они занимают одно место вдвоём. Соответственно, мест становится 7, но надо учесть, что девочки могут между собой поменяться местами (Маша-Таня и Таня-Маша). Поэтому количество всех очередей надо будет удвоить.
Коля не хочет быть последним, поэтому для него есть 6 возможных мест в очереди. Остальные могут занять места 6⋅5…1=6! способами.
В итоге получаем, что количество способов занять очередь равно 2⋅6⋅6!=8640.
Подборка задач по комбинаторике (с ответами) для 11 класса.
Задачи по комбинаторики
Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?
Ответ: перестановки, 5! = 120.
Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: размещения из 11 по 2, А 2 11= 110.
Задача 3: Расписание на день содержит 5 уроков. Определить количество возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит дважды.
Ответ: размещения из 14 по 5, 1320.
Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета?
Ответ: перестановки, 6 способов.
Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
Ответ: сочетания из 24 по 4,
Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?
Ответ: перестановки, 6 способов.
Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?
Ответ: сочетания, 455 способами.
Задача 8: Из ящика, где находится 15 шаров, нумерованных последовательно от 1 до 15, требуется вынуть 3 шара. Определить число возможных комбинаций при этом?
Ответ: размещения, 2830 способами.
Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?
Ответ: перестановки, 4! – 3! =18.
Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте?
Ответ: размещения из 6 элементов по 4, 360 способами.
Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?
Ответ: сочетания из 10 элементов по 2, 45 способами.
Ответ: сочетания из 13 по 4, 715 бригад.
Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Ответ: сочетания из 16 по 2, 120 рукопожатий.
Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого?
Ответ: сочетание из 30 по 2, 435 фотокарточек.
Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?
Ответ: сочетание из 10 по 3; 120 точек
Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?
Ответ: 10 7 .
Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?
Ответ: размещение из 10 по 7.
Задача 18: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых 3 определенных ученика находятся рядом друг с другом? Ответ: 720 = 3! · 5!
Задача 19: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах. Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли?
Ответ: а)2∙29!; б)28∙29!
Задача 20: Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные и различные?
Ответ: размещение из 5 по 3, 60.
Задача 21: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого?
Решить уравнение .
Ответ: x=9, x=10.
Раскрыть скобки в выражении .
Ответ: .
Сколькими способами можно составить шестизначное число, в запись которого входят четыре двойки и две пятёрки?
Ответ: .
На пять сотрудников университета выделены три путёвки на один курорт. Сколькими способами их можно распределить, если: а) все путёвки в различные санатории; б) все путёвки в один санаторий.
Ответ: а) , б).
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А ели среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.?
Ответ: Получаем размещения с повторениями из 13 карт по 4. Всего . Если среди карт не должно быть пар, то имеем размещения без повторений; их число.
Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг (с тремя горизонтальными полосами), если имеется материя пяти различных цветов, если цвета могут повторяться, но не рядом (полосы должны быть различными)?
Ответ: Осуществляя выбор сверху вниз, получаем способов.
Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду в составе 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в неё вошло не более 3 юношей?
Ответ: .
Автобус должен сделать 8 остановок, в котором едут 5 пассажиров. Какова вероятность, что на каждой остановке выйдет не более одного пассажира, если предположить, что каждый пассажир имеет одинаковую вероятность выйти на любой остановке?
Ответ: .
Ответ: .
Собрание, на котором присутствуют 20 человек, в том числе 8 женщин, выбирают делегацию из 5 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 3 женщины, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью.
Ответ: .
Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна 0,6. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.
Ответ. 1–0,4 2 =0,84.
Вариант №4
Решить уравнение .
Ответ: x=11.
Найти член разложения , содержащийx 3 .
Ответ: .
Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?
Ответ: .
Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из трёх гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ: .
На призывном пункте находится 15 призывников. Сколькими способами можно поставить в колонну по три человека?
Ответ: .
Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если определенные два человека из этих 17 не могут быть выбраны вместе?
Ответ: .
В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?
Ответ: .
8 вариантов контрольной работы случайным образом распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 7 и 8 не будут использованы?
Ответ: .
В первой урне находятся 5 оранжевых и 4 фиолетовых шара, во второй – 3 оранжевых и 7 фиолетовых шара. Из каждой урны случайным образом вынули по три шара. Найти вероятность того, что все шары будут одного цвета.
Ответ: .
В журнале из 20 страниц на каких-либо трех страницах помещают случайным образом одинаковую рекламу некоторой фирмы. Какова вероятность, что эта реклама будет размещена на страницах, идущих одна за другой?
Решение: В данной задаче порядок размещения рекламы неважен. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Общее число размещений рекламы в журнале . Еслиреклама будет размещена на страницах, идущих одна за другой, то эти страницы можно считать за одну. Тогда число страниц будет равно 18, следовательно, и число благоприятствующих исходов будет равно m=18. Таким образом, .
В ОТК поступают 4 детали. Вероятность того, что деталь бракованная равна 0,1. Проверка производится последовательно до обнаружения бракованной детали. Найти вероятность того, что будут проверены все 4 детали.
Читайте также: