Сколько диагоналей можно провести в кубе

Обновлено: 07.09.2024

Симметрии куба, как и симметрии тетраэдра делятся на два типа — самосовмещения, при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки относительно друг друга. Преобразования первого типа мы, как и в случае тетраэдра, будем называть вращениями. Все вращения, очевидно, образуют группу, которая называется группой вращений куба. Опишем сначала строение этой группы.

Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии.

В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба (рис. 28). Для каждой из 6 возможностей — когда указано, какая именно грань расположена внизу, — имеется 4 различных расположения куба, соответствующих его поворотам вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы

Таким образом, получаем вращений куба. Укажем их в явном биде.

Куб имеет центр симметрии (точка пересечения его диагоналей), 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси симметрии третьего порядка и 6 осей симметрии второго порядка. Достаточно рассмотреть вращения вокруг осей симметрии.

а) Оси симметрии четвертого порядка — это оси проходящие через центры противоположных граней: Вокруг каждой из этих осей имеется по три нетождественных вращения, а именно вращения на углы . Этим вращениям соответствуют 9 перестановок вершин куба, при которых вершины противоположных граней переставляются циклически и согласовано. Например, перестановки

отвечают поворотам вокруг оси .

б) Осями симметрии третьего порядка являются диагонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей [1, 7], [2, 8], [3, 5], [4, 6] имеется по два нетождественных вращения на углы . Например, вращения вокруг диагонали [1, 7] определяют такие перестановки вершин куба:

Всего получаем 8 таких вращений.

в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противолежащих ребер куба. Имеется шесть пар противоположных ребер (например, [1, 2], [7, 8]), каждая пара определяет одну ось симметрии, т. е. получаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение. Всего — 6 вращений. Вместе с тождественным преобразованием получаем 9 + 8 + 6 + 1 = 24 различных вращения. Итак, все вращения куба указаны. Вращения куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, граней и диагоналей.

Рассмотрим, как действует группа вращений куба на множестве его диагоналей. Различные вращения куба переставляют диагонали куба по-разному, т. е. им соответствуют различные перестановки на множестве диагоналей (проверьте!). Поэтому группа вращений куба определяет группу перестановок на множестве диагоналей, состоящую из 24 перестановок. Поскольку куб имеет лишь 4 диагонали, группа всех таких перестановок совпадает с симметрической группой на множестве диагоналей. Итак, любая перестановка диагоналей куба соответствует некоторому его вращению, причемразным перестановкам соответствуют разные вращения.

Опишем теперь всю группу симметрий куба. Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через его центр. Симметрии относительно этих плоскостей в сочетании со всеми вращениями куба дают нам еще 24 преобразования, являющихся самосовмещениями куба. Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований.

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости ( ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.

Основные свойства объёма:

- равные тела имеют равные объёмы;

- если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Основная литература:

Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.

Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.

Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см 3 ). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ) и тому подобное.

Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.

Объём обозначается заглавной латинской буквой V.

Объём книги400 кубических сантиметров запишут: V = 400см 3 .

Рассмотрим свойства объёмов.

Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.

Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Следствие из основных свойств объёмов.

Объём куба с ребром 1/n равен 1/n 3

Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см 3 ). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро

Объём каждого из маленьких кубиков при этом будет равен 1/n 3 .

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Доказательство

Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай первый. Измерения a, b и c представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит n (можно считать, что n больше или равно 1). В этом случае числа a ∙10 n , b∙10 n , c∙10 n , являются целыми. Разобьём каждое ребро параллелепипеда на равные части длины: 1/10 n и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед P разобьётся на abc∙10 3n равных кубов с ребром 1/10 n . Так как объём каждого куба равен 1/10 3n , что мы доказали ранее, то объём всего параллелепипеда P = abc, что и требовалось доказать.

Случай второй.

Хотя бы одно из измерений a, b, c представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби: a_n, b_n, c_n, которые получаются из чисел a, b, c, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с n + 1. Очевидно, a_n ≤ a ≤ a_n’, где a_n’ = a_n+1 : 10 n . Аналогичные неравенства справедливы для b и c. Перемножив эти неравенства, получим произведение a_nb_nc_n ≤ abc ≤ a_n’b_n’c_n’, где b_n’= b_n+1 : 10 n , c_n’ = c_n+1 : 10 n

По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём V_n прямоугольного параллелепипеда P_n с измерениями a_n, b_n, c_n, а правая часть – это объём V_n’ прямоугольного параллелепипеда P_n’ с измерениями a_n’, b_n’, c_n’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед P_n, а сам содержится в параллелепипеде P_n’, то объём V параллелепипеда P заключён между V_n, = a_nb_nc_n и V_n’= a_n’b_n’c_n’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10 n будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение a_n’b_n’c_n’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением a_nb_nc_n. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением a_nb_nc_n, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.

Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

А теперь найдём объём параллелепипеда:

V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см 3

Ответ: V = 7500 см 3 .

№2.

Найдите площадь закрашенной фигуры, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 960 см 3 , AB = 8 см, АА₁ ₌ 20 см.

Найдём длину АD:

AD = 960 : 8 : 20 = 6 см

Найдём АС, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Закрашенная фигура – прямоугольник. Вычислим его площадь: 10∙20= 200 см 2 .

При покупке строительных и отделочных материалов нужно заранее рассчитать необходимое количество. Плохо, когда материала оказывается слишком мало. Еще хуже, если их будет чрезмерно много. Это лишние потраченные деньги, а также нежелательные поездки по магазинам для докупки или сдачи. Потому лучше предварительно разобраться в том, сколько вагонки в кубе.

Да, сегодня говорим именно про расчет вагонки. Обычно с ее помощью выполняется внутренний отделочный процесс. Вагонка обладает уникальными декоративными, а также эксплуатационными свойствами.

Помимо того, что деревянная ламель должна соответствовать всем требованиям и подходить для поставленных задач, ею еще и требуется покрыть всю площадь помещений.

Вагонка — это особая деревянная доска, которая может продаваться по цене за 1 кубический метр. А поскольку длина и другие габаритные параметры у доски разные, да и помещение может обладать различной площадью, то при покупке 1 м3 и более важно понимать, какое количество штук вагонки в кубе.

Конечно, вы можете взять на вооружение онлайн калькулятор вагонки. Но это один из вариантов расчета.

На что влияет объем стройматериала

Перед тем как рассчитать вагонку, скажу несколько слов относительно того, почему важно все определить максимально верно.

Объем материала влияет на ряд факторов:

стоимость деревянных изделий;
цена доставки;
необходимые лакокрасочные материалы;
количество расходников и креплений.

Цена пиломатериалов зависит от нескольких пунктов, включая тип древесины, ее сорт, сырье для производства, а также габаритные размеры.

Если рассчитать общий требуемый объем материала, то можно будет определить общую стоимость и свои расходы на закупку.

Расчет по простой формуле

Теперь к вопросу о том, сколько содержит в себе куб вагонки.

Начнем с того, сколько досок вагонки в кубе. И для этого существует довольно простая формула. Выглядит она следующим образом:

Здесь нужно подставить следующие значения:

Ш — это ширина одной ламели;
Т — означает толщину;
Д — указывает на параметры длины.

Теперь будет легко определить, сколько штук вагонки в кубе. Конечно же, если все ламели одинаковые.

Допустим, доска имеет габаритные размеры 150х25х2000 мм.

Расчеты проводим в метрах, поскольку 1 это как раз 1м3.

Нужно умножить 0,15х0,025х2. И на единицу разделить полученное значение. В нашем примере это 1/0,0072. Получается 133,3. Всегда округляем в большую сторону. Вот так можно узнать, сколько досок вагонки в кубе. Здесь это 134 штуки.

А если вы знаете, сколько стоит 1 м3, и сумели определить общее число досок, просто разделите стоимость на это количество. Получите цену за 1 изделие.

Из кубического в квадратные метры

Еще один вопрос связан с тем, сколько квадратных метров в 1 кубе вагонки.

Объем не является метражом. Объем обычно используют, чтобы рассчитать стоимость материала, а также стоимость доставки.

Если же вы планируете облицевать стены или потолок, нужно знать, сколько квадратных метров в кубе вагонки.

Для этого нужно кубометры перевести в квадратные метры.

Возьмем простой пример.

Для обшивки стен используется доска толщиной 0,025 м или 25 мм;
Если 1 м2 разделить на 0,025, получим площадь, которую можно обшить с помощью кубометра такого материала. 1/0,025 будет 40 м2;
Теперь считаем площадь стен. Допустим, это 2 стены размером 2,5х4 метра. Получаем 20 м2;
Если 40 разделить на 20, то это и будет объем необходимой для покупки деревянной доски.

При этом вы также можете определить, сколько ламелей в штуках потребуется для обшивки стен.

Для этого просто умножьте длину, ширину и высоту 1 изделия. Теперь полученный ранее объем разделите на это число. В нашем случае мы 0,5 делим на 0,0072. Получится 69,4 штуки. Округляем в большую сторону.

Делаем вывод, что для обшивки двух стен площадью 20 м2 нам потребуется 0,5 м3 деревянных изделий или же 70 штук ламелей.

Можно ли визуально узнать объем

Определить, сколько вагонки в упаковке в штуках возможно, если знать некоторые исходные данные.

Но визуально понять, сколько штук вагонки в кубе, особенно 3 метровой, довольно проблематично, если вы новичок в этом деле.

Чтобы быстро и более менее правильно рассчитать значения, вооружитесь рулеткой. Измерьте показатели высоты, длины и ширины. Далее умножьте значения. Так вы узнаете, не пытается ли вас продавец обмануть.

А опытные строители даже на глаз могут примерно понять, сколько изделий содержится в пачке или кубе. Все это приходит лишь с опытом. Поэтому без измерений лучше не покупать этот материал.

Проще всего рассчитать нужное количество и объем материала, когда каждая стена помещения имеет одинаковое значение по высоте. В этом случае можно заказывать пиломатериалы одинаковой длины. Следовательно, толщина и ширина также будут идентичными. Один тип деревянной вагонки на все помещение.

Куда сложнее, если нужно использовать ламели с разными характеристиками. Тут придется сделать отдельно расчет для каждого типа материалов.

Помощь калькуляторов

Чтобы узнать, сколько вагонки в кубе, не обязательно брать лист бумаги, ручку и проводить какие-то математические вычисления.

Отличное решение — это калькулятор вагонки для стен и потолка.

При этом можно найти и выбрать как калькулятор площади вагонки, так и определить с помощью подобного инструмента, сколько штук деревянных панелей в пачке.

Достаточно ввести несколько исходных данных, и все. Система автоматически все рассчитает.

Подобный расчет вагонки по площади, кубическим метрам и по штукам обычно применяют люди, занимающиеся реализацией, либо регулярными закупками.

Представленная формула, как и онлайн калькуляторы, являются универсальными. С их помощью можно рассчитывать:

пластиковые панели;
МДФ;
ламели;
деревянные доски;
сайдинг;
брус и т.п.

Подходит как для штучных изделий, так и для материалов по площади и по объему.

Подводим итоги

Теперь и вы знаете, сколько вагонки в кубе и квадратном метре. Сделать расчеты оказалось вовсе не так сложно, как многим могло показаться изначально.

Использовать расчетные формулы, либо вооружиться онлайн калькуляторами, тут уже решайте сами.

Обязательно воспользуйтесь инфографикой производителя, загляните на его официальный сайт, познакомьтесь с выпускаемой продукцией.

Если же вы покупаете пиломатериалы на обычном строительном рынке, тогда настоятельно рекомендуем вам брать с собой рулетку, и включать калькулятор на телефоне. Либо через какой-нибудь сайт воспользуйтесь их онлайн калькулятором. Иначе есть вероятность, что вас попытаются обмануть. А никому не хочется платить больше денег, а также лишаться части ламелей, за которые заплатили.

А вам приходилось вести подобные расчеты? Что использовали для определения количества материала? Насколько удобными были предлагаемые онлайн калькуляторы? Сложно ли посчитать самостоятельно?

На этом пока все. Будем прощаться. Спасибо за внимание!

Подпишитесь, оставьте комментарий, задайте вопрос и расскажите о проекте друзьям!

Читайте также: