Должен ли отрезок перпендикулярный плоскости обязательно пересекать эту плоскость в кубе
Обновлено: 18.09.2024
Презентация на тему : " Перпендикулярность прямой и плоскости". 10 кл.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| perpendikulyarnost_pryamoy_i_ploskosti_10_kl.ppt | 2.69 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Урок геометрии в 10 классе
Повторение Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости Утверждение 1 . Утверждение 2. b х Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны b , || || ,
Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости b c , O
Устная работа № 1 № 3 Сторона АВ правильного треугольника АВС лежит в плоскости . Может ли прямая BC быть перпендикулярна к этой плоскости? Могут ли быть перпендикулярны к плоскости две стороны треугольника одновременно? Верно ли утверждение: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к прямой, принадлежащей плоскости? № 2
Прямая a перпендикулярна к плоскости , прямая b не перпендикулярна к плоскости . Могут ли прямые a и b быть параллельными? Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна лежащим в этой плоскости двум сторонам треугольника? Верно ли утверждение: если прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к данной плоскости? Устная работа № 4 № 6 № 5
Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM , перпендикулярная к плоскости квадрата. Докажите, что прямая AD перпендикулярна к плоскости, проходящей через прямые AM и AB . М В А С D Через центр окружности, описанной около треугольника ABC , проведена прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC . Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника ABC . А В С На практике вертикальность столба проверяют, глядя на столб поочередно с двух направлений. Как обосновать правильность такой проверки? О М Устная работа № 7 № 8 № 9
КАРТОЧКА 2. Отрезок EF является средней линией прямоугольного треугольника ABC ( ACB =90 ). Через точку E проведен перпендикуляр ME к плоскости этого треугольника. Доказать: 1) MF AC, 2) MC=MA. Карточки для индивидуальной работы КАРТОЧКА 1 Дан куб . Доказать: 1) 2)
Перпендикуляр и наклонная к плоскости А А1 В Прямая проходит через точку А перпендикулярно к плоскости . Точка - проекция точки А на плоскость . Отрезок называется перпендикуляром к плоскости. Точка -основание перпендикуляра. Расстояние от точки А до плоскости равно длине этого перпендикуляра. Точка В - произвольная точка плоскости. Отрезок АВ- наклонная к плоскости . Точка В-основание наклонной. Отрезок - проекция наклонной АВ на плоскость .
Дано: M ( ABC ), MBCD – прямоугольник. Доказать: прямая CD (ABC) Дано: ABCD – параллелограмм. Доказать: прямая MO ( ABC ) № 2 № 1
Дано: AH , AB – наклонная. Найти AB . Дано: AH , AB – наклонная. Найти A Н, ВН. № 3 № 4
25.04.17 Дано : прямая МС (АВС), АСВ=90 AC=4, MD=3. Найти длину отрезка MC. Дано: прямая MD (A ВС ) , АВС- равносторонний, Найти МС. № 1 № 2
Тест (ответить да или нет) Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой, параллельной этой плоскости Прямая, перпендикулярная к каким-нибудь двум прямым, лежащим в плоскости, перпендикулярна к этой плоскости Прямая, пересекающая круг в центре и перепендикулярная к его диаметру, перпендикулярна к плоскости круга Прямая, пересекающая круг в центре и перепендикулярная к его двум радиусам, не лежащим на одной прямой, перпендикулярна к плоскости круга Прямая, перпендикулярная к двум не параллельным хордам круга, перпендикулярна к его плоскости Если плоскость перпендикулярна к одной из параллельных прямых,то она перпендикулярна и к другой Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой Если две плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны 25.04.17
1 вариант. 1. Треугольник ABC –равносторонний, точка O – его центр. Прямая OM перпендикулярна к плоскости ABC . a ) Докажите, что MA = MB = MC . б) Найдите MA , если AB =6 см, MO =2см. 2 вариант. 1. ABCD – квадрат, точка O – его центр. Прямая OM перпендикулярна к плоскости квадрата. а) Докажите, что MA = MB = MC = MD . б) Найдите MA , если AB =4 см, OM =1см. 2.Из точки к плоскости проведены две наклонные. Известно , что разность длин наклонных равна 5см,а их проекции равны 7 и 18 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости. 2.Из точки к плоскости проведены две наклонные. Известно , что длины наклонных равны 25 и 30см,а разность длин их проекций -1 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости.
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум не параллельным прямым этой плоскости.
Теорема о единственности перпендикуляра к плоскости
Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
Определение. Проекцией точки М на плоскость a называется точка пересечения с плоскостью a прямой, проходящей через М и перпендикулярная a.
Определение. Проекцией фигуры Ф на плоскость a называется фигура Ф I этой плоскости, образованная проекциями всех точек фигуры Ф.
Минимальное свойство перпендикуляра. Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка прямой между этой точкой и ее проекцией на плоскость.
Теорема о двух перпендикулярах к плоскости
Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.
Основное свойство проекций
Пусть точка М лежит на отрезке KL. K’ ,M ‘ и L’ проекции точек K,M, и L соответственно на некоторую плоскость a. Тогда точка М лежит на отрезке K’L’, причем
Рассмотрим решение нескольких задач.
А теперь решите сами:
1. Из точки В, данной на расстоянии 12 см от плоскости проведена к ней наклонная ВМ, равная 13 см. Найти ее проекцию МС на данную плоскость.
2. Концы данного отрезка длиной 25 см отстоят от плоскости на 10 см и 3 см. Найти длину проекции.
3. Дана плоскость. Из некоторой точки пространства проведены к этой плоскости две наклонные длиной в 26 см и 25 см. Проекция первой из них на плоскость равна 10 см. Найти проекцию второй наклонной.
Задачи из видео урока
1. Из точки В, данной на расстоянии 6 см от плоскости проведена к ней наклонная ВМ, равная 10 см. Найти ее проекцию МС на данную плоскость.
2. Из точки В к плоскости a проведена наклонная ВМ. равная 25 см. Ее проекция МС на данную плоскость равна 7 см. Найти расстояние от точки В до плоскости a.
3. Концы данного отрезка длиной 13 см отстоят от плоскости на 9 см и 4 см. Найти длину проекции.
4. Концы отрезка отстоят от плоскости на 9 см и 3 см. Его проекция на плоскость равна 8 см. Найти длину данного отрезка.
5. Точка М лежит на отрезке KL. Проекциями точек K,M, и L на плоскость являются точки K I ,M I и L I . KM=6 см, ML=8 см, K I M I =3 см. Найти M I L I .
6. Дана плоскость. Из некоторой точки пространства проведены к этой плоскости две наклонные длиной в 13 см и 15 см. Проекция первой из них на плоскость равна 5 см. Найти проекцию второй наклонной.
В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых:
- совпадают,
- пересекаются,
- параллельны,
- скрещиваются.
Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.
Признак скрещивающихся прямых
Если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.
Порядок нахождения угла между скрещивающимися прямыми:
Шаг 1: через одну из двух прямых a провести плоскость, параллельную второй прямой b (напомним признак: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой из этой плоскости);
Шаг 2: в этой плоскости найти прямую c, параллельную прямой b;
Шаг 3: тогда угол между прямыми a и b будет равен углу между прямыми a и c.
Практика
Задание 1
Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Найдите угол между высотой пирамиды и ребром SB, если высота пирамиды равна , а сторона основания пирамиды равна 6. Ответ дайте в градусах.
Задание 2
Задание 3
Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Найдите косинус угла между высотой основания и ребром SC, если сторона основания равна , а боковое ребро равно 2.
Теорема о трех перпендикулярах
- Определение: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.
- Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
- Наклонная (к плоскости) AB – отрезок прямой, не перпендикулярной плоскости, один из концов которого лежит на плоскости (основание наклонной).
- Перпендикуляр (к плоскости) – отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, один из концов которого лежит на плоскости (основание перпендикуляра).
- Проекция наклонной – отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной.
Теорема о трех перпендикулярах (ТТП):
Обратная ТТП:
Практика
Задание 1
Пусть SABC – правильная треугольная пирамида с вершиной S. Найдите угол между AS и BC. Ответ дайте в градусах.
Закрепим понятие перпендикулярности прямой и плоскости конспектом урока. Предоставим общее определение, сформулируем и приведём доказательства теоремы и решим несколько задач на закрепление материала.
Из курса геометрии известно: две прямые считаются перпендикулярными, когда они пересекаются под углом 90о.
- Теоретическая часть
- Доказательство
- Использование теоремы для решения задач
- Задача № 1
- Задача № 2
Теоретическая часть
Переходя к исследованию характеристик пространственных фигур, будем применять новое понятие.
прямая будет называться перпендикулярной плоскости, когда она перпендикулярна прямой на поверхности, произвольно проходящей через точку пересечения.
Это интересно: разность чисел что это, как ее найти?
Из вышесказанного вытекает теорема о признаке перпендикулярности прямой и плоскости:
в случае если прямая, проведённая через плоскость, будет перпендикулярна двум прямым, проведённым на плоскости через точку пересечения, то она перпендикулярна целой плоскости.
Говоря другими словами, если на рисунке 1 углы ACD и ACE равны 90о, то и угол ACF тоже будет 90о. Смотреть рисунок 3.
Доказательство
Через точку C прохождения линии a через плоскость α прочертим линию f в произвольном направлении. Приведём доказательства, что она будет перпендикулярна отрезку AB или угол ACF будет 90о.
Это интересно: как сравнить два отрезка способы с примерами.
Соединим прямыми точки F, D и E c точками A и B.
Рассмотрим два треугольника ACE и BCE. По условиям построения:
- Имеются две одинаковые стороны AC и BC.
- У них дна общая сторона CE.
- Два равных угла ACE и BCE по 90о.
Следовательно, по условиям равенства треугольников, если имеем две равные стороны и одинаковый угол между ними, то эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что стороны AE и BE равны.
Соответственно доказывается равенство треугольников ACD и BCD, иначе говоря, равенство сторон AD и BD.
Теперь рассмотрим два треугольника AED и BED. Из ранее доказанного равенства треугольников следует, что у этих фигур есть одинаковые стороны AE с BE и AD с BD. Одна сторона ED общая. Из условия равенства треугольников, определённых по трём сторонам, следует, что углы ADE и BDE равны.
Сумма углов ADE и ADF составляет 180о. Сумма углов BDE и BDF также будет 180о. Так как углы ADE и BDE равны, то и углы ADF и BDF равны.
Рассмотрим два треугольника ADF и BDF. Они имеют по две равных стороны AD и BD (доказано ранее), DF общую сторону и по равному углу между ними ADF и BDF. Следовательно, эти треугольники имеют одинаковые по длине стороны. То есть сторона BF имеет ту же длину, что и сторона AF.
Если рассматривать треугольник AFB, то он будет равнобедренный (AF равняется BF), а прямая FC является медианой, так как по условиям построения сторона AC равняется стороне BC. Следовательно, угол ACF равняется 90о. Что и следовало доказать.
Важным следствием из приведённой теоремы будет утверждение:
если две параллельные пересекают плоскость и одна из них составляет угол 90о, то и вторая походит через плоскость под углом 90о.
По условиям задачи a и b являются параллельными. Смотреть рисунок 4. Линия a перпендикулярна поверхности α. Отсюда следует, что линия b будет также перпендикулярна поверхности α.
Для доказательства через две точки пересечения параллельных прямых с плоскостью проведём на поверхности прямую c. По теореме о прямой, перпендикулярной плоскости, угол DAB будет 90о. Из свойств параллельных прямых следует, что угол ABF тоже будет 90о. Следовательно, по определению прямая b будет перпендикулярна поверхности α.
Это интересно: какой вектор называется разностью двух векторов?
Использование теоремы для решения задач
Для закрепления материала, используя основополагающие условия перпендикулярности прямой и плоскости, решим несколько задач.
Задача № 1
Условия. Из точки A построить перпендикулярную линию плоскости α. Смотреть рисунок 5.
На поверхности α проведём произвольную прямую b. Через прямую b и точку A построим поверхность β. Из точки A на линию b проведём отрезок AB. Из точки B на поверхности α проведём перпендикулярную линию c.
Из точки A на линию с опустим перпендикуляр AC. Докажем, что эта линия будет перпендикулярна плоскости.
Для доказательства через точку C на поверхности α проведём линиюd, параллельную b, и через линию c и точку A построим плоскость. Линия AC перпендикулярна линии c по условию построения и перпендикулярна линии d, как следствие о двух параллельных линиях из теоремы о перпендикулярности, так как по условию линияb перпендикулярна поверхности γ.
Следовательно, по определению перпендикулярности линии и плоскости, построенный отрезок AC перпендикулярен поверхности α.
Задача № 2
Условия. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. Треугольник BDF расположен на поверхности α и имеет следующие параметры:
- угол DBF будет 90о
- сторона BD=12 см,
- сторона BF =16 см,
- BC — медиана.
Смотреть рисунок 6.
Найти длину отрезка АС, если АВ = 24 см.
Решение. По теореме Пифагора, гипотенуза или сторона DF равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Длина BD в квадрате равна 144 и, соответственно, BC в квадрате будет 256. В сумме 400, извлекая квадратный корень, получаем 20.
Медиана BC в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на две равные части и по длине равна этим отрезкам, то есть ВС = DC = CF = 10.
Снова используется теорема Пифагора, и получаем: гипотенуза C = 26, что является квадратным корнем из 675, суммы квадратов катетов 576 (АВ = 24 в квадрате) и 100 (ВС = 10 в квадрате).
Читайте также: